\subsection{一次函数的图象和性质}\label{subsec:14-8}
\begin{enhancedline}

我们来画函数 $y = \dfrac{2}{3}x + 4$ 的图象，并且把它同直线 $y = \dfrac{2}{3}x$ 相比较。

在 $x$ 的取值范围内列出这两个函数的对应值表：
\begin{table}[H]
    \hspace*{2em}
    \begin{tblr}{
        hlines, vlines,
        columns={mode=math, c, 3em},
        column{1}={5em},
        rows={rowsep=0.5em},
    }
        x                     & \cdots & -2                & -1                  & 0   & 1                & 2                & \cdots \\
        y = \dfrac{2}{3}x     & \cdots & -\dfrac{4}{3}     & -\dfrac{2}{3}       & 0   & \dfrac{2}{3}     & \dfrac{4}{3}     & \cdots \\
        y = \dfrac{2}{3}x + 4 & \cdots & -\dfrac{4}{3} + 4 & -\dfrac{2}{3} + 4   & 4   & \dfrac{2}{3} + 4 & \dfrac{4}{3} + 4 & \cdots \\

    \end{tblr}
\end{table}

它们的图象如图 \ref{fig:14-19} 所示。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/czds4-ch14-19}
    \caption{}\label{fig:14-19}
\end{figure}

可以看出，对于 $x$ 的每一个值，函数 $y = \dfrac{2}{3}x + 4$ 的值都比函数 $y = \dfrac{2}{3}x$ 的值多 $4$ 个单位，
因此，把直线 $y = \dfrac{2}{3}x$ 向上平行移动 $4$ 个单位，就可以得到函数 $y = \dfrac{2}{3}x + 4$ 的图象。
由此可见，一次函数 $y = \dfrac{2}{3}x + 4$ 的图象是经过点 $(0,\, 4)$ 且平行于直线 $y = \dfrac{2}{3}x$ 的一条直线。

一般地，一次函数 $y = kx + b$ 的图象是经过点 $(0,\, b)$ 且平行于直线 $y = kx$ 的一条直线。
因此，我们以后把一次函数 $y = kx + b$ 的图象叫做直线 $y = kx + b$。

直线 $y = kx + b$ 与 $y$ 轴相交于点 $B(0,\, b)$，$b$ 叫做直线 $y = kx + b$ 在 $y$ 轴上的截距，简称\zhongdian{截距}。

\zhongdian{一次函数 $\bm{y = kx + b}$ 有下列性质：}

\zhongdian{
    当 $\bm{k > 0}$ 时，$\bm{y}$ 随 $\bm{x}$ 的增大而增大；
    当 $\bm{k < 0}$ 时，$\bm{y}$ 随 $\bm{x}$ 的增大而减小。
}

由于直线的位置可以由直线上的任意两点唯一确定，所以要画 $y = kx + b$ 的图象，
只要先确定这条直线上的任意两点，然后过这两点画一条直线就行了。


\liti 画出直线 $y = \dfrac{1}{2}x + 2$。

\jie 取 $x = 0$，得 $y = 2$；取 $y = 0$， 得 $x = -4$。

经过点 $A(0,\, 2)$ 与点 $B(-4,\, 0)$ 画直线，它就是所求的直线（图 \ref{fig:14-20}）。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
    \centering
    \input{../pic/czds4-ch14-20}
    \caption{}\label{fig:14-20}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
    \centering
    \input{../pic/czds4-ch14-21}
    \caption{}\label{fig:14-21}
    \end{minipage}
\end{figure}

\liti 一根弹簧的原长是 $12$ 厘米，它能挂的重量不能超过 $15$ 千克，并且每挂重 $1$ 千克就伸长 $\dfrac{1}{2}$ 厘米。
写出挂重后的弹簧长度 $y$（厘米）与挂重 $x$（千克）之间的函数关系式，并且画出它的图象。

分析：因为弹簧每挂重 $1$ 千克就伸长 $\dfrac{1}{2}$ 厘米，所以挂重 $x$ 千克就伸长 $\dfrac{1}{2}x$ 厘米。

又因为弹簧的原长是 $12$ 厘米，所以挂重 $x$ 千克后的长是 $\left(\dfrac{1}{2}x + 12\right)$ 厘米。

\jie $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为
$$ y = \dfrac{1}{2}x + 12 \; (0 \leqslant x \leqslant 15) \juhao $$

（括号中的不等式 $0 \leqslant x \leqslant 15$ 表示 $x$ 的取值范围。）

下面画 $y = \dfrac{1}{2}x + 12 \; (0 \leqslant x \leqslant 15)$  的图象。

取 $x = 0$， 得 $y = 12$；
取 $x = 15$， 得 $y = 19\dfrac{1}{2}$。

描出点 $A(0,\, 12)$ 和点 $B\left(15,\, 19\dfrac{1}{2}\right)$，然后连成线段 $AB$（想一想为什么不画直线），
这条线段就是所求的图象（图 \ref{fig:14-21}）。


\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{在同一坐标系内，画出下列函数的图象，并把它们与直线 $y = \dfrac{1}{3}x$ 相比较}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tblr}{columns={18em, colsep=0pt}}
        \xxt{$y = \dfrac{1}{3}x + 4$；} & \xxt{$y = \dfrac{1}{3}x - 2$。}
    \end{tblr}
\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{}%
\begin{xiaoxiaotis}%
    \xxt[\xxtsep]{已知一次函数 $y = kx + 2$ 在 $x = 5$ 时的值为 $4$， 求 $k$；}

    \xxt{已知直线 $y = kx + 2$ 经过点 $P(5,\, 4)$，画出这条直线。}

\end{xiaoxiaotis}

\end{xiaotis}

\end{enhancedline}
